电子天平该如何选择合适的砝码 [砝码称重问题]给定架天平，要求用m个砝码称出1~n克范围内的所有物品的重量，问应该如何选择砝码 定理： 由m个数构成的由小到排列的数列，设A（k）=∑ a（i）， 其中i从1到k， 则 a（1） = 1且a（j+1） <= 2A（j） +1， j取1,2,..,m-1 （1式） 是该数列作为砝码序列可称量范围内的任意整数重量的充要条件。特 别的，上式取等号时， 该序列是*可能的砝码序列，并且有a（j） = 3^（j-1）， 对于j=1,2,..,m 推论： 重量为n的物体要分成m份重量为整数的物体的序列， 设M=∑3^（i-1），其中i 从1到m，则有三种情况： 1） M<n， 无解； 2） M=n，有*的解 a（j）=3^（j-1）, j=1,2,..m; 3） M>n，可能有多组解，解为满足（1式）并且∑a（i）=n,其中i从1到m，的所有整 数序列。 砝码定理的证明： （充分性） 用数归法： 当i=1的时候，a（i）=1显然成立； 假设i=k的时候定理充分性成立，即用满足（1）式的前k个砝码可以称量的重量 W（k）为满足0<=W（k）<=A（k） 的所有整数，则i=k+1时，应可以称量W（k+1）,应为0<=W（k+1）<=A（k+1）范围内的所 有整数。分段讨论如下： （a）对于0<=W（k+1）<=A（k），显然可以由前k个砝码称量； （b）对于A（k）<W（k+1）<=a（k+1）， 由假设0<=W（k）<=A（k）， 交换左右盘的砝码，可 以产生配合砝码a（k+1） 使用的负砝码为W（k）' 可以是满足-A（k）<=W（k）'<=0的所有整数。与砝码a（k+1） 起使用可以得到a （k+1）+W（k）' ，定可以称量某段连续范围的所有整数，因为a（k+1） <=2A（k）+1， 所以a（k+1）-A（k） <= A（k）+1， 因此a（k+1）+W（k）'产生的下限为a（k+1）-A（k），上限为a（k+1）,所以可以 称量A（k）<W（k+1）<=a （k+1）内的所有W（k+1）； （c）对于a（k+1）<=W（k+1）<=A（k+1），与（b）同理可以得到称量的上下限分别为： a（k+1）+A（k） = A（k+1）和a （k+1）； 因此当i=k+1的时候定理充分性也成立，由数归法知定理充分性成立。 （必要性） i=1时，显然必须有总量为1的砝码； i>1时，反证之，如果存在某个K，使得（1）不成立，即2A（k）+1<a（k+1），则重量 A（k）+1既不能用前面的 k-1个砝码称重，又因为a（k+1）-A（k）>A（k）+1而不能用a（k+1）配合着称重。所以矛 盾，因此必要性成立。 推论也可以用数归法简单的证明，这里我就不证了，打字太累了：） 根据以上的定理和推论，可以很容易的求出对于重量为任意的n的物体，用m个砝码 可以称出来的砝码的方 案。当n=∑3^（i-1）， i从1到m的时候，有*解a（i）=3^（i-1），可以改写成 a（i）=2（∑aj）+1，其中j从1 到i-1，个循环就直接输出了；当n>∑3^（i-1）的时候无解；当n<∑3^（i-1）的时 候只要根据式（1）并保 证∑a（i）=n搜索就可以了。可以递归的搜索求解。具体我就不写程序了。 终于写完了，好累呀~~ ———————————————  ———砝码质量等级表 | 标称值 | E2等 | F1等 | F2等 | M1等 | | 20kg | 30 | 100 | 300 | 1000 | | 10kg | 16 | 50 | 160 | 500 | | 5kg | 8.0 | 25 | 80 | 250 | | 2kg | 3.0 | 10 | 30 | 100 | | 1kg | 1.6 | 5 | 16 | 50 | | 500g | 0.8 | 2.5 | 8 | 25 | | 200g | 0.3 | 1 | 3.0 | 10 | | 100g | 0.16 | 0.5 | 1.6 | 5 | | 50g | 0.10 | 0.30 | 1.0 | 3.0 | | 20g | 0.08 | 0.25 | 0.8 | 2.5 | | 10g | 0.06 | 0.20 | 0.6 | 2 | | 5g | 0.05 | 0.16 | 0.5 | 1.6 | | 2g | 0.04 | 0.12 | 0.4 | 1.2 | | 1g | 0.03 | 0.10 | 0.3 | 1.0 | | 500mg | 0.025 | 0.08 | 0.25 | 0.8 | | 200mg | 0.020 | 0.06 | 0.20 | 0.6 | | 100mg | 0.016 | 0.05 | 0.16 | 0.5 | | 50mg | 0.012 | 0.04 | 0.12 | 0.4 | | 20mg | 0.010 | 0.03 | 0.10 | 0.3 | | 10mg | 0.008 | 0.025 | 0.08 | 0.25 | | 5mg | 0.006 | 0.020 | 0.06 | 0.20 | | 1mg 2mg | 0.006 | 0.020 | 0.06 | 0.20 | |
