如果天平两端都允许放砝码

 如果天平两端都.允许放砝码，并且假定所有的砝码都是整数克。为了称出从1克到40克所有整数克的物品，少需要几个砝码?感兴趣的读者不妨自己先试着想想，再往下看。

秘密在于3的幂

说起来这个问题历史还算是挺悠久的。据《数学游戏与欣赏》([英]劳斯.鲍尔[加]考克斯特，杨应辰等译)，这个问题被称作巴协(Bachet) 砝码问题;而据《数学聊斋》(王树禾)，该问题至少可追溯到17世纪法梅齐里亚克(Meziriac， 1624) 。 他们给出的答案是:

少需要4个砝码，规格分别为1克、3克、9克和27克。

例如，为了称出2克的物品，我们只需在天平- -端放3克砝码，在另- -端放上1克的砝码;而要称出7克的物品，则可以在端放上1克和9克的砝码，另端放上3克的砝码。

类似地，要称出1克到4克中所有整数克的物品，只需要2个砝码;要称出1克到13克中所有整数克的物品，则只需要3个砝码;要称出1克到121克中所有整数克的物品则要5个砝码，它们分别是1克、3克、9克、27克和81克，如此等等。

也许有人已经心领神会了，但是如果就此满足而匆匆离去的话，可能就错失了- -个领略数学思想的机会--问题到这里并未结束啊!例如，4个砝码究竟是不是少的?还有没有其他的组合?对这些疑问的个*的分析和说明，是19世纪由麦克马洪MacMahon) 给出的。下面就来领略下其中的思想吧， 或许你会从中学到很多。


因式分解的妙用

假设有个重为a克的砝码，那么用它自然能够称出0克和a克的物品。不过，如果虚设天平的某端为正的话，利用此天平和砝码我们还能称出- a克的物品不妨规定把a克砝码放在天平右侧，将物品放在天平左侧，由此可以称出a克的物品:但若把a克砝码放在天平左侧，把物品放在天平右侧，由此称出的物品重量记作-a。目前这样-种设想有 点怪异，但这实际上和人类引入负数的思想是相同的。很快家便会发现，这种设定非常精妙地简化了我们的计算和推导。现在暂且把该砝码能够称出的重量a, 0, a放个表达式中: x*+1+x

现在，假设有两个不同规格的砝码，分别重a克和b克(a<b)。按照上面的规定，我们可以称出-a-b，-b，-a，a-b,0,b-a,a,b,a+b。例如，为了称出b-a，只需要把b克的砝码放在右端，物品和a克的砝码放在左端;按照上面的约定，如果天平平衡，物品就是b-a克。而要称出a- b，则把b克砝码放在左端，a克砝码和物品放在右端，如果平衡则物品是a - b克。同样地，把这些数塞个表达式: x8 0 +x° +x~*+x-b+1+xb-a+x+x+x"a+b

可以看到，它不是别的，正好是(x=+1+x)(x*+1+x)的展开式。.


另外，假设有m个同样重为a克的砝码，则可以称出- ma, - (m- 1)a，，，0, .,,的物品。暂且按照上面的办法，把这些数也塞个表达式中 :

(m - 1)a，ma克

x-ma +x-(m-1)a...+1+...+x(m-1)a+ xma

结合，上面的分析，容易看出，如果有m个a克的砝码，n个b克的砝码，等等，那么可以称出物品的.克数就是表达式(x-ma....+...+.*)(x-na +..+1 +..+02)..

展开后出现过的那些x的幂数，而展开式中x的i次项系数就表示用给定的这组砝码称出i克物品的不同方法数。

如果要称出1到40中所有的整克数，并且要求所用的砝码尽可能少，我们自然希望这些砝码能够“物尽其用”，称出的克数正好都是我们需要的克数，并且称的方法都是唯- -的。也就是说，上述表达式展开后应该恰好是x40 +x,- 35+...+...+.39+ x40

反过来，就是要把40+3.+...+...+*x39+x*0

还原成(Xa +...+1 ...+-")(x na ...+..+*.*).... 的形式。