世界上zui的砝码组合

某天正当发发由于和老祖共同研发的狂币发行受挫，沮丧之极而狂喝闷酒的时候，“叮呤呤”，提起话筒听，原来是二傻从X星上的空间站回来了，并带来了个令人不安的消息，他说X星上的空间站由于出了意外，所有的砝码均被毁坏，站长派他火速回地球带组新砝码去，具体要求是：

（1） 能称量从1克到3280克的所有整数克，但砝码的总质量不能过3280克。
（2） 砝码的数量尽量要少，空间站站长德•梅齐里亚克要求不过8个砝码。

二傻已经跑遍了*上所有的衡器厂，都没人敢接下这个定单，算他幸运的是，竟然还记得我这个来自天狗星（二傻不让俺去天狼星，所以只好住到天狼星的隔壁天狗星上）的发明狂----发发。我安慰他说，“傻兄，您放心，这对于我们天狗星的人来说，那是小菜碟，连三岁的小孩子都办得到，您明天早来取货就行了”，约定好取货时间后，他还不断的叮嘱“记住，砝码的总数量不能过8个！总质量也不能过3280克！就是过微克都是犯罪！！”。我说：“这个我知道，根据老爱的公式：E=mc^2,在接近光速飞行时，就算是微不足道的微克质量也需要消耗掉难以想象的能量，不过您放心去睡吧，谁叫咱俩是好朋友呢，我不替您分忧，谁替您分忧？”。听我这么说他才肯走，但走时的眼光连白痴都看得出充满了不信任。。。

我可不想浪费时间去研究他的目光，赶紧拨通老祖的，向他定做了下面这组砝码：

（1）1克，
（2）3克，
（3）9克，
（4）27克，
（5）81克，
（6）243克，
（7）729克，
（8）2187克。

共8种，每种定做个。
老祖是何等高手！转眼就给弄出8只绝美的金刚砝码如下：

看着这些美丽无比而魅力无穷的堪称世界上zui的天狗星砝码组合，发发突然想起，多数地球人的智商还不如咱天狗星的三岁小孩，如果不仔细说明其中来龙去脉，恐怕地球人不相信也不会正确使用这些砝码。想到这，赶紧提笔写下了世界上zui的砝码组合的数学原理及使用手册。

、数学原理：

用天平称量物体实际上是把物体放在个托盘上，然后在两个托盘上分别加上适当的砝码，使得天平保持平衡，这时物体的质量就等于这两个托盘上砝码各自质量之和的差值。这样来，世界上zui砝码组合问题就转变成纯数学的整数*拆分问题了：

如何将3280分解成些较小的数（正整数，下同），取出部分这些数（每个数在次运算中只能使用次，即满足砝码的*性）行或加或减的运算就能得到个新的数。而且用这种方法得到的数集里必须含了从1到3280的所有正整数。

（1） 先让我们来看理论上能不能做到。假设这样的组数存在，我们设为n个，从小到分别为：A1,A2,…,An即：A1<A2<…<An（n为正整数）现在我们来看这组数是如何组成个新的数的。

K1A1+ K2A2+….+KnAn （其中k1,k2,….,kn的取值只能是-1，0，+1这三个数，n是正整数）

根据要求，我们知道A1,A2,…,An这组数必须满足下面这些条件：

A1+A2+…+An=3280 …………………①

K1A1+ K2A2+….+KnAn 当k1到kn取完所有的可能值时，至少能产生3280个数字 ，而这些数字里还必须有1至3280的所有正整数。 .................②

式子②所能产生的数字个数问题实际上又是排列组合问题，K1,K2,…,Kn每个都有三种取值的可能，所以所能组成的数字的总个数P=3^n。这些数字中有0，有正整数，也有负整数，由于对称性，正整数和负整数的个数是样多的。所以实际产生的正整数的总个数应该是：T=（P-1）/2=（3^n-1）/2.

设T=3280，（如果此式能成立，则刚好能产生1到3280的所有正整数）

即：T=（P-1）/2=（3^n-1）/2.=3280。
解之得： n=8

这就从理论上证明了3280能分成8个较少的数字，并且从这8个数字中取出m（m<=8的正整数）个行或加或减所生成的所有正整数刚好就是1至3280的所有自然正整数。

（2） 既然理论上是可以做到的，那我们就实际来做做。

显然： A1=1， 因为1是自然数的始祖，少了它肯定不行。

那么A2是多少呢？ A2与1可以组成的数字：A2-1，A2，A2+1，显然A2-1=2，解之得： A2=3

有了1和3这两个数字我们就能产生数字：1，2，3，4

增加A3后，我们又能增加这些数：
A3-4，A3-3，A3-2，A3-1，A3，A3+1，A3+2 ，A3+3，A3+4
同理A3-4=5，解之得：A3=9
。。。。。。

同理我们可以得到A4=27，A5=81，A6=243，A7=729，X8=2187

现在让我们验证方程①是否成立，
A1+A2+…+An=1+3+9+27+81+243+729+2187=3280
方程①成立。

到此我们不但在理论上而且在实际上也找到了这8个数字了，它们分别是

1 3 9 27 81 243 729 2187


二、使用手册

砝码的使用问题归根结底是数学问题，所以我们在这里就说数学问题吧。也就是说如何用1 3 9 27 81 243 729 2187这8个原始数字表示1至3280的某个具体的数字，先让我们来做几道简单的算术题：

1
1+3=4
1+3+9=13
1+3+9+27= 40
1+3+9+27+81=121
1+3+9+27+81+243=364
1+3+9+27+81+243+729=1093
1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

我们把1至3280的所有正整数分在7个区间里，它们分别是：
Q1= [1 4] 1∈Q1，3∈Q1
Q2=（4 13] 9∈Q2
Q3=（13 40] 27∈Q3
Q4=（40 121] 81∈Q4
Q5=（121 364] 243∈Q5
Q6=（364 1093] 729∈Q6
Q7=（1093 3280] 2187∈Q7
其中“（”表示开区间，“]”表示闭区间。
.
显然,给我们任何个数A（1<=A<=3280），我们先看A属于哪个区间，在哪个区间就取也同在那个区间的那个原始数字来做减数与A相减，比如数字A与原始数字B1在同区间，则A可以表示成
A=B1+K1 或A=B1-K1 ……. ①

现在再看K1在哪个区间，如果K1和原始数字B2在同区间，则K1可表示成
K1=B2+K2 或K1=B2-K2 ………②

依此类推，只到所有的数字都变成原始数字为止。即
……………………………………………….
Kn-1=Bn+Kn 或Kn-1=Bn-Kn ……….（n）

（其中A，B，K，n都是正整数）

这时将式（n）代入式（n-1）, 式（n-1）代入式（n-2）……式②代入式①
这样全部用原始数字表示的数字A就完成了。下面用具体的数字为例加以说明。

例（1）用天平称取2008克物品。即A=2008
解：
2008∈Q7， 2187∈Q7，所以
2008=2187-179

179∈Q5， 243∈Q5，并且179= 243-64
所以
2008=2187-243+64
64∈Q4 ， 81∈Q4，并且64=81-17
所以
2008=2187-243+81-17
17∈Q3， 27∈Q3，并且17=27-10
所以
2008=2187-243+81-27+10
10∈Q2， 9∈Q2， 并且10=9+1
所以

2008=2187-243+81-27+9+1

又因为1是原始数字，所以到这里就可以OK了。

在使用天平称取2008克物品时，243克，27克的砝码和物品放在同边托盘上，2187克，81克，9克，1克的砝码放在另边托盘上即可，当天平平衡时，这时物品的质量就是2008克。

例（2）用天平称取1997克物品，即A=1997
解
1997∈Q7， 2187∈Q7
所以 1997=2187-190

190∈Q5，243∈Q5，并且 190=243-53
所以 1997=2187-243+53

53∈Q4，81∈Q4，并且 53=81-28
所以 1997=2187-243+81-28

28∈Q3，27∈Q3，并且28=27+1
所以 1997=2178-243+81-27-1

8∈Q2，9∈Q2，并且 8=9-1
所以 1997=2178-243+81-27-1

在使用天平称取1997克物品时，物品和质量为243克，27克，1克的砝码放在个托盘上，2178克，81克的砝码放在另托盘上，当天平平衡时，此时物品的质量即为1997克。

习题：
1，世界上zui的砝码组合9颗砝码应该是多少克？
2，世界上zui的砝码组合的n颗砝码应该是多少克？
3，德•梅齐里亚克的法码问题：
个商人有个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块。后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。问这4块砝码片各重多少？

参考资料：
① Problèmes plaisants et délectabled qui se font par les nombres
② Quarterly Journal of Mathematics, vol. XXI, 1886

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